Tạp chí toán học tuổi thơ THCS số 180 và 181 năm 2018

TOÁN HỌC HY LẠP

Khi đế chế Hy Lạp bắt đầu lan rộng phạm vi ảnh hưởng của mình sang Tiểu Á, Lưỡng Hà và xa hơn nữa, người Hy Lạp đủ thông minh để tiếp nhận và điều chỉnh các yếu tố hữu ích từ các xã hội mà họ chinh phục. Điều này cũng đúng với toán học của họ như bất cứ điều gì khác, và họ đã áp dụng các yếu tố toán học của cả người Babylon và người Ai Cập . Nhưng họ đã sớm bắt đầu có những đóng góp quan trọng theo ý mình và lần đầu tiên chúng ta có thể ghi nhận những đóng góp của các cá nhân. Vào thời kỳ Hy Lạp hóa , người Hy Lạp đã chủ trì một trong những cuộc cách mạng quan trọng và ấn tượng nhất trong tư tưởng toán học mọi thời đại.

Các chữ số Attic hoặc Herodianic

Các hệ thống chữ số Hy Lạp cổ đại , được gọi là Attic hoặc chữ số Herodianic , được phát triển đầy đủ khoảng 450 TCN , và được sử dụng thường xuyên có thể sớm nhất là vào thứ 7 thế kỷ trước Công Nguyên. Đó là hệ thống cơ số 10 tương tự như hệ thống của người Ai Cập trước đó (và thậm chí còn giống với hệ thống La Mã sau này ), với các ký hiệu cho 1, 5, 10, 50, 100, 500 và 1.000 được lặp lại nhiều lần để thể hiện số mong muốn . Phép cộng được thực hiện bằng cách cộng riêng các ký hiệu (1s, 10s, 100s, v.v.) trong các số được thêm vào, và phép nhân là một quá trình tốn nhiều công sức dựa trên các phép nhân đôi liên tiếp (phép chia dựa trên nghịch đảo của quá trình này).

Định lý đánh chặn của Thales

Nhưng hầu hết toán học Hy Lạp dựa trên hình học. Thales , một trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp cổ đại , sống trên bờ biển Ionian thuộc Tiểu Á vào nửa đầu thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường được coi là người đầu tiên đưa ra các hướng dẫn cho sự phát triển trừu tượng của hình học, mặc dù những gì chúng ta biết về công việc của anh ấy (chẳng hạn như về các tam giác đồng dạng và vuông) bây giờ có vẻ khá sơ đẳng.

Thales đã thiết lập cái được gọi là Định lý Thales , theo đó nếu một tam giác được vẽ trong một đường tròn với cạnh dài là đường kính của đường tròn, thì góc đối diện sẽ luôn là góc vuông (cũng như một số tính chất liên quan khác được suy ra từ đây). Ông cũng được ghi nhận với một định lý khác, còn được gọi là Định lý Thales hoặc Định lý đánh chặn , về tỷ lệ của các đoạn thẳng được tạo ra nếu hai đường giao nhau bị chặn bởi một cặp song song (và, mở rộng, tỷ lệ của các cạnh của tam giác đồng dạng).

Tuy nhiên, ở một mức độ nào đó, huyền thoại về nhà toán học Pythagoras của Samos vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên đã trở thành đồng nghĩa với sự ra đời của toán học Hy Lạp. Thật vậy, ông được cho là đã đặt ra cả hai từ “triết học” (“ tình yêu của sự khôn ngoan ”) và “ toán học ” (“ cái được học ”). Pythagoras có lẽ là người đầu tiên nhận ra rằng có thể xây dựng một hệ thống toán học hoàn chỉnh, trong đó các yếu tố hình học tương ứng với các con số. Định lý Pythagoras (hay Định lý Pitago) là một trong những định lý toán học được biết đến nhiều nhất. Nhưng ông vẫn là một nhân vật gây tranh cãi, như chúng ta sẽ thấy , và toán học Hy Lạp hoàn toàn không giới hạn ở một người.

Ba bài toán hình học

Bài toán hình học nói riêng, thường được gọi là Ba bài toán cổ điển, và tất cả đều được giải bằng các phương tiện hình học thuần túy chỉ sử dụng một cạnh thẳng và compa, có từ những ngày đầu của hình học Hy Lạp: “ bình phương (hay vuông góc) của hình tròn ”,“ sự nhân đôi (hoặc nhân đôi) của hình lập phương ”và“ phần ba của một góc ”. Những vấn đề khó hiểu này có ảnh hưởng sâu sắc đến hình học trong tương lai và dẫn đến nhiều khám phá hiệu quả, mặc dù các giải pháp thực tế của chúng (hoặc hóa ra là các bằng chứng về sự bất khả thi của chúng) phải đợi đến Thế kỷ 19 .

Hippocrates of Chios (đừng nhầm với bác sĩ Hy Lạp vĩ đại Hippocrates of Ko). Là một trong những nhà toán học Hy Lạp như vậy, người đã tự áp dụng các bài toán này vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên (đóng góp của ông cho bài toán “bình phương vòng tròn” được gọi là Lune of Hippocrates). Cuốn sách có ảnh hưởng của ông “ Các yếu tố ”, ra đời vào khoảng năm 440 trước Công nguyên, là bộ sưu tập đầu tiên về các yếu tố của hình học, và công trình của ông là nguồn quan trọng cho công trình nghiên cứu sau này của Euclid .

Nghịch lý của Zeno về Achilles và Rùa

Chính người Hy Lạp là những người đầu tiên vật lộn với ý tưởng về sự vô hạn, như được mô tả trong các nghịch lý nổi tiếng được quy cho nhà triết học Zeno xứ Elea vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên . Nghịch lý nổi tiếng nhất của ông là Achilles và Rùa, mô tả một cuộc chạy đua trên lý thuyết giữa Achilles và một con rùa. Achilles cho con rùa khởi đầu chậm hơn nhiều, nhưng khi Achilles đến điểm xuất phát của con rùa, con rùa đã tiến lên phía trước. Vào thời điểm Achilles đạt đến điểm đó, con rùa lại tiếp tục di chuyển, v.v., v.v., vì vậy về nguyên tắc, Achilles nhanh nhẹn không bao giờ có thể đuổi kịp con rùa chậm chạp.

Nghịch lý chẳng hạn như nghịch lý này và cái gọi là Nghịch lý lưỡng phân của Zeno dựa trên khả năng phân chia vô hạn của không gian và thời gian, và dựa trên ý tưởng rằng một nửa cộng một phần tư cộng với một phần tám cộng với một phần mười sáu, v.v., đến vô cùng sẽ không bao giờ đúng bằng một tổng thể. Tuy nhiên, nghịch lý bắt nguồn từ giả định sai lầm rằng không thể hoàn thành vô số dấu gạch ngang rời rạc trong một thời gian hữu hạn, mặc dù rất khó để chứng minh một cách dứt khoát sai lầm. Aristotle người Hy Lạp cổ đại là người đầu tiên trong số nhiều người cố gắng bác bỏ những nghịch lý, đặc biệt vì ông tin chắc rằng vô cực chỉ có thể là tiềm năng chứ không phải là thực.

Democritus , nổi tiếng với những ý tưởng tiên tri về mọi vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử nhỏ bé, cũng là nhà tiên phong của toán học và hình học trong thế kỷ thứ 5 – thứ 4 trước Công nguyên, và ông đã tạo ra các tác phẩm với tiêu đề như “ On Numbers “, “ On Geometrics “, “ On Tangencies ”, “ On Mapping ” và “ On Irrationals ”, mặc dù những tác phẩm này đã không tồn tại. Chúng ta biết rằng ông là một trong những người đầu tiên quan sát thấy một hình nón (hoặc hình chóp) có thể tích bằng một phần ba hình trụ (hoặc lăng trụ) có cùng đáy và chiều cao, và ông có lẽ là người đầu tiên nghiêm túc xem xét phép chia của các đối tượng thành vô số mặt cắt ngang.

Tuy nhiên, điều chắc chắn đúng là Pythagoras nói riêng đã ảnh hưởng rất nhiều đến những người sau ông, bao gồm Plato , người đã thành lập Học viện nổi tiếng của mình ở Athens vào năm 387 trước Công nguyên, và người bảo trợ của ông là Aristotle, người có công trình nghiên cứu logic được coi là dứt khoát trong hơn hai nghìn năm. . Plato nhà toán học được biết đến nhiều nhất với mô tả của ông về năm chất rắn Platonic, nhưng giá trị của công việc của ông với tư cách là một giáo viên và người phổ biến toán học không thể được phóng đại.

Học trò của Plato , Eudoxus ở Cnidus, thường được ghi nhận là người đầu tiên thực hiện “phương pháp cạn kiệt” (sau này được Archimedes phát triển ), một phương pháp tích phân ban đầu bằng các phép gần đúng liên tiếp mà ông đã sử dụng để tính thể tích của hình chóp và hình nón. . Ông cũng phát triển một lý thuyết tổng quát về tỷ lệ, có thể áp dụng cho các cường độ không thể so sánh được (không hợp lý) không thể biểu thị bằng tỷ số của hai số nguyên, cũng như các cường độ có thể so sánh được (hợp lý), do đó mở rộng những ý tưởng chưa hoàn thiện của Pythagoras .

Tuy nhiên, có lẽ đóng góp quan trọng nhất của người Hy Lạp – và Pythagoras , Plato và Aristotle đều có ảnh hưởng về mặt này – là ý tưởng về chứng minh, và phương pháp suy diễn sử dụng các bước logic để chứng minh hoặc bác bỏ các định lý từ các tiên đề giả định ban đầu. Các nền văn hóa lâu đời hơn, như người Ai Cập và người Babylon , đã dựa vào suy luận quy nạp, tức là sử dụng các quan sát lặp đi lặp lại để thiết lập các quy tắc chung. Chính khái niệm chứng minh này đã cung cấp cho toán học sức mạnh của nó và đảm bảo rằng các lý thuyết đã được chứng minh là đúng ngày nay như chúng cách đây hai nghìn năm, và đặt nền móng cho phương pháp tiếp cận toán học có hệ thống của Euclid và những người sau ông.