Tạp chí toán học tuổi thơ THCS số 187 năm 2018

TOÁN HỌC ẤN ĐỘ

Mặc dù phát triển khá độc lập với tiếng Trung Quốc (và có lẽ cả với toán học Babylon ), một số khám phá toán học rất tiên tiến đã được thực hiện vào thời gian rất sớm ở Ấn Độ.

Có bằng chứng về việc sử dụng các phép toán số học như cộng, trừ, nhân, phân số, bình phương, lập phương và căn.Một văn bản tiếng Phạn ở thế kỷ thứ 4 sau Công nguyên tường thuật Đức Phật liệt kê các số lên đến 10^53 . Cho rằng ước tính có khoảng 10^80 nguyên tử trong toàn thể vũ trụ, điều này gần như vô hạn như bất kỳ nguyên tử nào trong thế giới cổ đại đã từng đến. Nó cũng mô tả một loạt các lần lặp lại với kích thước giảm dần, để chứng minh kích thước của một nguyên tử, gần đáng kể với kích thước thực của một nguyên tử cacbon (khoảng 70 phần nghìn tỷ mét).

Ngay từ thế kỷ thứ 8 trước Công nguyên, rất lâu trước thời Pythagoras , một văn bản được gọi là “ Sulba Sutras ” (hoặc “ Sulva Sutras ”) đã liệt kê một số bộ ba đơn giản của Pythagore, cũng như một tuyên bố về định lý Pythagore đơn giản cho các cạnh của hình vuông. Và đối với một hình chữ nhật (thực sự, có vẻ như rất có thể Pythagoras đã học hình học cơ bản của mình từ “ Kinh điển Sulba “). Kinh cũng chứa các nghiệm hình học của phương trình tuyến tính và bậc hai trong một ẩn số duy nhất, và đưa ra một con số chính xác đáng kể cho căn bậc hai của 2, thu được bằng cách cộng 1 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ (3 x 4) – 1 ⁄ (3 x 4 x 34) , mang lại giá trị là 1.4142156, chính xác đến 5 chữ số thập phân.

>> Tạp chí toán học tuổi thơ THCS số 179 năm 2018

>> Tạp chí toán học tuổi thơ THCS số 178 năm 2017

Ngay từ thế kỷ thứ 3 hoặc thứ 2 trước Công nguyên, các nhà toán học Jain đã công nhận năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hướng, hai hướng, trong khu vực, vô hạn ở mọi nơi và vĩnh viễn vô hạn. Văn học Phật giáo cổ đại cũng thể hiện một nhận thức khoa học về những con số vô định và vô hạn, với những con số được coi là có ba loại: đếm được, không đếm được và vô hạn.

Giống như người Trung Quốc , người Ấn Độ sớm phát hiện ra lợi ích của hệ thống số giá trị vị trí thập phân và chắc chắn đã sử dụng nó trước khoảng thế kỷ thứ 3 sau CN. Họ đã tinh chỉnh và hoàn thiện hệ thống, đặc biệt là cách biểu diễn bằng chữ viết của các chữ số, tạo ra tổ tiên của chín chữ số mà chúng ta sử dụng trên toàn thế giới ngày nay (nhờ sự phổ biến của nó bởi các nhà toán học Ả Rập thời trung cổ ), đôi khi được coi là một trong những phát kiến trí tuệ vĩ đại nhất thời gian.

Số lần sử dụng ký tự vòng tròn được ghi nhận sớm nhất là Số 0

Người da đỏ cũng chịu trách nhiệm về một sự phát triển cực kỳ quan trọng khác trong toán học. Việc sử dụng ký tự vòng tròn cho số 0 được ghi nhận sớm nhất thường là do một bản khắc vào thế kỷ thứ 9 trong một ngôi đền ở Gwalior, miền trung Ấn Độ. Nhưng bước nhảy vọt về khái niệm tuyệt vời để bao gồm số 0 như một số theo đúng nghĩa của nó (thay vì chỉ đơn thuần là một trình giữ chỗ, một khoảng trống hoặc trống trong một số, như nó đã được coi là cho đến thời điểm đó) thường được ghi công cho các nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ thứ 7 Brahmagupta- hoặc có thể là một người Ấn Độ khác, Bhaskara I – mặc dù nó có thể đã được sử dụng thực tế trong nhiều thế kỷ trước đó. Việc sử dụng số 0 như một số có thể được sử dụng trong các phép tính và điều tra toán học, sẽ cách mạng hóa toán học.

Brahmagupta đã thiết lập các quy tắc toán học cơ bản để xử lý số không: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; và 1 x 0 = 0 (bước đột phá có ý nghĩa về phép toán có vẻ không hợp lý 1 ÷ 0 cũng sẽ rơi vào tay nhà toán học Ấn Độ, thế kỷ 12 Bhaskara II). Brahmagupta cũng thiết lập các quy tắc để xử lý các số âm, và chỉ ra rằng về mặt lý thuyết, phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm khả thi, một trong số đó có thể là số âm. Ông thậm chí còn cố gắng viết ra những khái niệm khá trừu tượng này, sử dụng tên viết tắt của tên màu sắc để biểu thị những ẩn số trong phương trình của mình, một trong những khái niệm ban đầu của cái mà chúng ta ngày nay gọi là đại số.

Có thể nói cái gọi là Kỷ nguyên vàng của toán học Ấn Độ kéo dài từ Thế kỷ 5 đến Thế kỷ 12, và nhiều khám phá toán học của nó đã có trước những khám phá tương tự ở phương Tây vài thế kỷ, dẫn đến một số tuyên bố về đạo văn của các nhà toán học châu Âu sau này ít nhất một số người trong số họ có lẽ đã biết về công việc của người Ấn Độ sớm hơn. Chắc chắn, có vẻ như những đóng góp của Ấn Độ cho toán học đã không được công nhận thích đáng cho đến rất gần đây trong lịch sử hiện đại.

Các nhà thiên văn học Ấn Độ đã sử dụng bảng lượng giác

Các nhà toán học Ấn Độ thời kỳ hoàng kim đã đạt được những tiến bộ cơ bản trong lý thuyết lượng giác, một phương pháp liên kết giữa hình học và số được người Hy Lạp phát triển lần đầu tiên . Họ sử dụng các ý tưởng như hàm sin, côsin và tiếp tuyến (liên hệ các góc của tam giác với độ dài tương đối của các cạnh của nó) để khảo sát vùng đất xung quanh chúng, điều hướng các vùng biển và thậm chí lập biểu đồ bầu trời.

Ví dụ, các nhà thiên văn học Ấn Độ đã sử dụng lượng giác để tính toán khoảng cách tương đối giữa Trái đất và Mặt trăng và Trái đất và Mặt trời. Họ nhận ra rằng, khi Mặt trăng tròn một nửa và đối diện trực tiếp với Mặt trời, thì Mặt trời, Mặt trăng và Trái đất tạo thành một tam giác vuông và có thể đo chính xác góc là 1 ⁄ 7 °. Bảng sin của họ đưa ra tỷ lệ cho các cạnh của một tam giác là 400: 1, cho thấy rằng Mặt trời ở xa Trái đất hơn 400 lần so với Mặt trăng.

Mặc dù người Hy Lạp đã có thể tính toán hàm sin của một số góc, nhưng các nhà thiên văn học Ấn Độ muốn có thể tính toán hàm sin của một góc bất kỳ. Một văn bản được gọi là “Surya Siddhanta”, của các tác giả không rõ và có niên đại từ khoảng năm 400 CN, chứa đựng gốc rễ của lượng giác hiện đại, bao gồm việc sử dụng thực sự đầu tiên của sin, cosin, sin nghịch đảo, tiếp tuyến và mặt cắt.

Ngay từ thế kỷ thứ 6 CN, nhà toán học và thiên văn học vĩ đại người Ấn Độ Aryabhata đã đưa ra các định nghĩa phân loại về sin, cosine, versine và nghịch đảo, đồng thời chỉ định các bảng sin và versine hoàn chỉnh, trong các khoảng thời gian 3,75 ° từ 0 ° đến 90 °, với độ chính xác 4 chữ số thập phân. Aryabhata cũng chứng minh các giải pháp cho các phương trình bậc hai đồng thời và đưa ra giá trị gần đúng cho giá trị của π tương đương với 3,1416, chính xác đến bốn chữ số thập phân. Ông đã sử dụng này để ước tính chu vi của Trái đất, đến một con số 24.835 dặm, chỉ 70 dặm ngoài khơi giá trị thật sự của nó. Nhưng, có lẽ còn đáng kinh ngạc hơn, dường như ông đã nhận thức được rằng π là một số vô tỉ, và bất kỳ phép tính nào cũng chỉ có thể là một phép tính gần đúng, một điều chưa được chứng minh ở châu Âu cho đến năm 1761.

Vô cực là nghịch đảo của 0

Bhaskara II , sống vào thế kỷ 12, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Ấn Độ. Ông được cho là đã giải thích được phép toán chia cho số 0 bị hiểu lầm. Ông nhận thấy rằng chia một thành hai phần sẽ thu được một nửa, do đó 1 ÷ 1 ⁄ 2 = 2. Tương tự, 1 ÷ 1 ⁄ 3 = 3. Vì vậy, chia 1 cho các phe nhỏ hơn và nhỏ hơn sẽ thu được số phần lớn hơn và lớn hơn. Do đó, cuối cùng, chia một phần thành các phần có kích thước bằng không sẽ thu được vô số phần, cho thấy rằng 1 ÷ 0 = ∞ (biểu tượng cho vô cùng).

Tuy nhiên, Bhaskara II cũng có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau từ nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn (bao gồm cả nghiệm âm và nghiệm vô tỷ) đến nghiệm của phương trình Diophantine bậc hai đến các khái niệm sơ bộ về phép tính thập phân và giải tích toán học cho hình cầu lượng giác và các khía cạnh khác của lượng giác. Một số phát hiện của ông có trước những khám phá tương tự ở Châu Âu vài thế kỷ, và ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc hệ thống hóa (lúc đó) kiến thức hiện tại và cải tiến các phương pháp cho các giải pháp đã biết.

Trường Thiên văn và Toán học Kerala được thành lập vào cuối thế kỷ 14 bởi Madhava của Sangamagrama , đôi khi được gọi là nhà toán học-thiên văn học vĩ đại nhất của Ấn Độ thời Trung cổ. Ông đã phát triển các phép xấp xỉ chuỗi vô hạn cho một loạt các hàm lượng giác, bao gồm cả π , sin, v.v. Một số đóng góp của ông cho hình học và đại số cũng như các dạng phân biệt và tích phân ban đầu của ông cho các hàm đơn giản có thể đã được truyền đến châu Âu thông qua các nhà truyền giáo Dòng Tên, và nó có thể là sự phát triển sau này của giải tích châu Âu đã bị ảnh hưởng bởi công việc của ông ở một mức độ nào đó.